Álgebra booleana

¿Qué es el álgebra booleana?

El álgebra booleana, o álgebra de Boole, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas. Se usa para el tratamiento de variables binarias. Cubre los estudios de toda variable que solo tenga 2 resultados posibles, complementarios y excluyentes entre sí.

Por ejemplo, las variables cuya única posibilidad es verdadero o falso, correcto o incorrecto, encendido o apagado, son la base del estudio del álgebra booleana.

El álgebra booleana constituye la base de la electrónica digital y la informática. Se rige por el concepto de las compuertas lógicas, donde las operaciones conocidas en el álgebra tradicional se ven notablemente afectadas.

Historia del álgebra booleana

El matemático inglés George Boole (1816-1864), autodidacta, fue el primero en definir esta operación algebraica como parte de un sistema lógico, en 1854. Su inquietud surgió de una disputa existente entre Augustus De Morgan y William Hamilton, sobre los parámetros que definen este sistema lógico.

George Boole argumentó que la definición de los valores numéricos 0 y 1 corresponde, en el campo de la lógica, a la interpretación Nada y Universo, respectivamente.

La intención de Boole fue definir, a través de las propiedades del álgebra, las expresiones de la lógica proposicional necesarias para tratar con variables de tipo binario.

En 1854 se publicaron los apartados más significativos del álgebra booleana en el libro Una investigación de las leyes del pensamiento sobre las que se fundamentan las teorías matemáticas de la lógica y probabilidad.

Este curioso título sería resumido más adelante como The laws of thought (Las leyes del pensamiento). El título saltó a la fama debido a la inmediata atención que tuvo por parte de la comunidad matemática del momento.

En 1948, Claude Shannon la aplicó en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables. Esto sirvió como introducción a la aplicación del álgebra booleana en todo el esquema electrónico-digital,

Estructura del álgebra booleana

Los valores elementales en este tipo de álgebra son 0 y 1, que corresponden a FALSO y VERDADERO, respectivamente. Las operaciones fundamentales en el álgebra booleana son 3:

Operación AND o conjunción. Representada por un punto ( . ). Sinónimo del producto.
Operación OR o disyunción. Representada por una cruz ( + ) .Sinónimo de la suma.
Operación NOT o negación. Representada por el prefijo NOT (NOT A). También se conoce como complemento.

Si en un conjunto A se definen 2 leyes de composición interna denotadas como producto y suma ( . + ), se dice que la terna ( A . + ) es un álgebra booleana si y solo si dicha terna cumple con la condición de ser un retículo distributivo.

Para definir un retículo distributivo se deben cumplir las condiciones de distribución entre las operaciones dadas:

. es distributiva con respecto a la suma + a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c )

+ es distributiva con respecto al producto. a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

Los elementos que componen el conjunto A deben ser binarios, teniendo así valores de universo o vacío.

Aplicaciones del álgebra booleana

Su mayor escenario de aplicación es la rama digital, donde sirve para estructurar los circuitos que componen las operaciones lógicas involucradas. El arte de la simplicidad de circuitos en pro de optimizar los procesos, es el resultado de la correcta aplicación y práctica del álgebra booleana.

Desde la elaboración de tableros eléctricos, pasando por la transmisión de datos, hasta llegar a la programación en diferentes lenguajes, podemos encontrar frecuentemente el álgebra de Boole en todo tipo de aplicaciones digitales.

Las variables booleanas son muy comunes en la estructura de la programación. Dependiendo del lenguaje de programación utilizado, existirán operaciones estructurales del código que usen dichas variables. Los condicionales y argumentos de cada lenguaje admiten variables booleanas para definir los procesos.

Postulados del álgebra booleana

Existen teoremas que rigen las leyes lógicas estructurales del álgebra booleana. De igual forma, se tienen postulados para conocer los resultados posibles en diferentes combinaciones de variables binarias, según la operación que se realice.

Suma (+)

El operador OR, cuyo elemento lógico es la unión (U), queda definido para variables binarias de la siguiente manera:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Producto (.)

El operador AND, cuyo elemento lógico es la intersección (∩), queda definido para variables binarias de la siguiente manera:

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Opuesto (NOT)

El operador NOT, cuyo elemento lógico es el complemento (X)’, queda definido para variables binarias de la siguiente manera:

NOT 0 = 1

NOT 1 = 0

Muchos de los postulados difieren de sus equivalentes en el álgebra convencional. Esto es debido al dominio de las variables. Por ejemplo, la adición de elementos universo en álgebra booleana (1 + 1) no puede arrojar el resultado convencional de 2, debido a que no pertenece a los elementos del conjunto binario.

Teoremas del álgebra booleana

Regla del cero y la unidad

Toda operación simple que involucre un elemento con las variables binarias, queda definida:

0 + A = A

1 + A = 1

0 . A = 0

1 . A = A

Potencias iguales o idempotencia

Las operaciones entre variables iguales quedan definidas como:

A + A = A

A . A = A

Complementación

Toda operación entre una variable y su complemento queda definida como:

A + NOT A = 1

A . NOT A = 0

Involución o doble negación

Toda doble negación sera considerada como la variable natural.

NOT (NOT A ) = A

Conmutativa

A + B = B + A : Conmutatividad de la suma.

A . B = B . A : Conmutatividad del producto.

Asociativa

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C = A + B + C : Asociatividad de la suma.

A . ( B . C ) = ( A . B ) . C = A . B . C : Asociatividad del producto.

Distributiva

A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C ) : Distributividad de la suma con respecto al producto.

A . ( B + C ) = ( A . B ) + ( A + C ) : Distributividad del producto con respecto a la suma.

Leyes de absorción

Existen muchas leyes de absorción entre múltiples referencias, algunas de las más conocidas son:

A . ( A + B ) = A

A . ( NOT A + B ) = A . B

NOT A ( A + B ) = NOT A . B

( A + B ) . ( A + NOT B ) = A

A + A . B = A

A + NOT A . B = A + B

NOT A + A . B = NOT A + B

A . B + A . NOT B = A

Teorema de Morgan

Son leyes de transformación, que manejan pares de variables que interactúan entre las operaciones definidas del álgebra booleana ( + . ).

NOT ( A . B ) = NOT A + NOT B

NOT ( A +B ) = NOT A . NOT B

A + B = NOT ( NOT A + NOT B )

A . B = NOT ( NOT A . NOT B )

Dualidad

Todos los postulados y teoremas poseen la facultad de la dualidad. Esto implica que al intercambiar las variables y operaciones se verifica la proposición resultante. Es decir, que al intercambiar 0 por 1 y AND por OR o viceversa, se crea una expresión que también será completamente válida.

Por ejemplo, si se toma el postulado